\documentclass{jarticle}
\begin{document}








{\LARGE ITPASS 数値計算実習課題その1 }

{\large 　　　宇宙物理学研究室 B4 坂本大樹 }

{\large 　}

{\LARGE 問題 }

{\LARGE 1. }

{\large 中心星の運動方程式 }

\begin{displaymath}
{ \mathbf{F}_ {1}=m_ 1\frac{d^2\mathbf{r}_ 1}{dt^2}=
-\frac{Gm_ {1}m_ {2}}{|{\mathbf{r}_ 1-\mathbf{r}_ 2}|^3}(\mathbf{r}_ 1 - \mathbf{r}_ 2)  }
\end{displaymath}

{\large 惑星の運動方程式 }

\begin{displaymath}
{\mathbf{F}_ {2}=m_ 2\frac{d^2\mathbf{r}_ 2}{dt^2}=
-\frac{Gm_ {1}m_ {2}}{|{\mathbf{r}_ 2-\mathbf{r}_ 1}|^3}(\mathbf{r}_ 2 - \mathbf{r}_ 1) }
\end{displaymath}

{\large 中心星と惑星の相対座標は、}

\begin{displaymath}
{  \mathbf{r}=\mathbf{r}_ 2-\mathbf{r}_ 1 }
\end{displaymath}

{\large 両辺を時間tで二階微分すると、}

\begin{displaymath}
{\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=\frac{d^2\mathbf{r}_ 2}{dt^2}-\frac{d^2\mathbf{r}_ 1}{dt^2}  }
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
{ \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=-\frac{Gm_ {2}}{|{\mathbf{r}_ 2-\mathbf{r}_ 1}|^3}(\mathbf{r}_ 2 - \mathbf{r}_ 1)
+\frac{Gm_ {1}}{|{\mathbf{r}_ 1-\mathbf{r}_ 2}|^3}(\mathbf{r}_ 1 - \mathbf{r}_ 2)  }
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
　　{ =-\frac{Gm_ {2}}{|{\mathbf{r}_ 2-\mathbf{r}_ 1}|^3}(\mathbf{r}_ 2 - \mathbf{r}_ 1)
-\frac{Gm_ {1}}{|{\mathbf{r}_ 2-\mathbf{r}_ 1}|^3}(\mathbf{r}_ 2 - \mathbf{r}_ 1)  }
\end{displaymath}

{\large よって、}

\begin{displaymath}
{-\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=\frac{G(m_ {1}+m_ {2})}{|{\mathbf{r}_ 2-\mathbf{r}_ 1}|^3}(\mathbf{r}_ 2 - \mathbf{r}_ 1) }
\end{displaymath}

{\large 以上より、}

\begin{displaymath}
{-\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=\frac{G(m_ {1}+m_ {2})}{r^3}\mathbf{r} }
\end{displaymath}

{\large ここで、$\mathbf{r}$は$ \mathbf{r}=\mathbf{r}_ 2-\mathbf{r}_ 1$で表される相対ベクトルとするとき、
上記の運動方程式は質点$m_ 1$から質点$m_ 2$の相対運動と考えられる。したがって、今回の場合は
上記の運動方程式は、中心星から惑星の相対運動を表していると言える。 }

\newpage

{\LARGE 2. }

{\large 相対ベクトル $ \mathbf{r}=(x,y) $ に対して速度を}

\begin{displaymath}
{ \mathbf{v}=(v_ x,v_ y)=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)  }
\end{displaymath}

{\large と定義すると、}

\begin{displaymath}
{r=\sqrt{x^2+y^2}}
\end{displaymath}

{\large 1.から、}

\begin{displaymath}
\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)
=\left( \frac{G(m_ {1}+m_ {2})}{r^3}x,\frac{G(m_ {1}+m_ {2})}{r^3}y \right)
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
=\left(\frac{G(m_ {1}+m_ {2})}{(\sqrt{x^2+y^2})^{\frac{3}{2}}}x,\frac{G(m_ {1}+m_ {2})}{(\sqrt{x^2+y^2})^{\frac{3}{2}}}y\right)
\end{displaymath}

{\large よって、}

\begin{displaymath}
\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)
=\left(\frac{G(m_ {1}+m_ {2})}{(\sqrt{x^2+y^2})^{\frac{3}{2}}}x,\frac{G(m_ {1}+m_ {2})}{(\sqrt{x^2+y^2})^{\frac{3}{2}}}y\right)
\end{displaymath}






\end{document}